Variação da área de uma superfície plana

     Uma fábrica de caixas de papelão, produz caixas de vários tamanhos, mas para isso seu técnico necessita calcular a área de cada caixa, para mandar modelos para o setor de corte, sendo assim, esse profissional calcula um modelo utilizando-se de uma folha de cartolina, conforme figura abaixo.

Considerando uma cartolina retangular cujo comprimento é de 40 cm e cuja largura é de 20 cm, como modelo à produção de caixas, o técnico precisa calcular sua área as quais, dependem dessas duas medidas.
Para tanto, observe, que a área da cartolina retangular, é o produto de suas dimensões (40 * 20), cujo total é de 800 cm².
Para verificar a variação da área que essa cartolina retangular pode assumir, uma vez que o fabricante produz caixas de vários tamanhos, recortamos quatro regiões quadradas de lado x, uma em cada canto, quando é possível verificar que o tamanho da caixa pode ser modificado quando alteramos as dimensões das quatro regiões quadradas, na figura pintadas em vermelho.
     Através desse modelo, o técnico pode desenhar caixas de vários tamanhos, podendo também demonstrar, através de um gráfico, as variações que ocorrem entre os tamanhos na produção de caixas de várias dimensões, como explicitado à seguir:
     Primeiramente, o técnico, produz uma tabela, que contém área restante de cada caixa, depois de retirados os quadrados de seus cantos, e a medida do lado da região quadrada a ser cortada.
     Mas para construir essa tabela, com fins da construção de um gráfico demonstrativo, o profissional necessita calcular uma expressão algébrica que represente a área da cartolina após a retirada dos cantos, procedendo então assim:
     f(x) = 800 - 4x² , pois a área da região retangular é dada por b x h, ou seja (40 * 20)=800 cm², menos os quatro cantos da cartolina, cujas áreas são obtidas pelo cálculo da área de cada quadrado, chegando à fórmula matemática escrita acima: f(x) = 800 - 4x².
    Feito isso é possível construir a tabela e o gráfico correspondente a essa situação, como à seguir:

Tabela construída

Eixo X (Medida do lado região quadrada a ser retirada)	Eixo Y (Área da região restante) Y = 800-4x²
0	Y= 800 – 4.0² = 800
1	Y= 800 – 4.1² = 796
2	Y= 800 – 4.2² = 784
3	Y= 800 – 4.3² = 764
4	Y= 800 – 4.3² = 736
5	Y= 800 – 4.3² = 700
6	Y= 800 – 4.3² = 656
7	Y= 800 – 4.3² = 604
8	Y= 800 – 4.3² = 544
9	Y= 800 – 4.3² = 476
10	Y= 800 – 4.3² = 400

Gráfico que demonstra a variação da área de cada caixa, em função da medida do lado da região quadrada a ser retirada.

Você pode ira para:
Variação do volume de um sólido geométrico.