Eq. 2º grau e o completamento de quadrados

O processo do completamento de quadrados

Inicialmente, observamos a figura que é a representação geométrica da expressão (a+b)².

Pela figura, vemos que: (a+b)² = a² + 2ab + b²

A interpretação geométrica é: a² + 2ab + b²

a² → área do quadrado de lado a.

ab → área de um dos retângulos de lados a e b.

b² → área do quadrado de lado b.

Baseados nessa interpretação, acompanhemos as situações a seguir, que mostram como al-Khowarizmi desenvolveu seus estudos.

Consideremos a expressão x² + 6x. Vamos fazer uma interpretação geométrica dessa expressão:
x² + 6x = x² + 2(3x)

x² → área de um quadrado cujo lado mede x.

2(3x) → área de um retângulo cujos lados medem 3 e x.

Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada:

Pela figura, notamos que, para completar o quadrado, devemos acrescentar um quadrado de lado 3, ou seja, de área 3². Assim, se adicionarmos 3² à expressão x² + 6x, obtemos x² + 6x + 3², que é um trinômio quadrado perfeito. Daí, podemos escrever:

x² + 6x + 3²= x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Aplicando o que acabamos de ver, vamos resolver as seguintes

equações do 2º grau com uma incógnita:


1) x² + 6x + 8 = 0 → observe que a expressão não é um trinômio quadrado perfeito, logo devemos transformá-la em tal. Fazemos, então:

2) x² + 6x +____= - 8 +___ → isolamos o termo que não é quadrado perfeito, e acrescentamos o número que tornará a expressão

x² + 6x +___, em um trinômio quadrado perfeito, que no caso será o número 3²(9), ficando a expressão igual à:

x² + 6x + 9 = - 8 + 9 → Observe que acrescentamos o mesmo número “pensado”, à direta da igualdade.

3) A seguir manipulamos algebricamente a expressão, que resultará em:

x² + 6x + 9 = 1

Fatorando x² + 6x + 9, obtemos: (x+3)², logo:

(x+3)² = 1 → como já vimos quando das operações na resolução de equações incompletas do 2º grau, fazemos:

x + 3 = ± √ 1 → lembre-se que a potenciação tem como operação inversa à radiciação, e que a raiz quadrada de 1 é 1.

Assim: x = ± 1. Daí: x = + 1 ou x = - 1

Logo, S = {+1, -1} e os números +1 e -1 são as raízes da equação.

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