Progressão aritmética

     O matemático Karl Friedrich Gauss descobriu uma fórmula para indicar a quantidade total em cada triângulo, em que S1 correspondia ao primeiro triângulo, S2, ao segundo triângulo, e assim sucessivamente.

     As somas descritas por Gauss iniciavam com um e, a cada etapa, era adicionado um número que correspondia a uma unidade acima do último número adicionado.






Observe:
S1 = 1
S2 = 1 + 2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
S6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
S9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= 45
Observe, que os resultados dessa somas: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 são os chamados números triangulares.

Mais atentamente, verificamos que se adicionarmos o primeiro elemento ao último obteremos o mesmo resultado, de somarmos o segundo elemento ao penúltimo.

Para melhor exemplificar:
Para S6:  
                1 + 6 = 7
                2 + 5 = 7
                3 + 4 = 7 note: 3 . 7 = 21

Para S7:
                1 + 7 = 8
                2 + 6 = 8
                3 + 5 = 8
                4 +          note: 3 . 8 = 24 + 4 (da sequência) = 28
             
Para S8:
                1 + 8 = 9
                2 + 7 = 9
                3 + 6 = 9
                4 + 5 = 9 note: 4 . 9 = 36

Para S9:
                1 + 9 = 10
                2 + 8 = 10
                3 + 7 = 10
                4 + 6 = 10
                5 +            note: 4 . 10 = 40 +5 (da sequência) = 45

E assim, infinitamente. Perceba também que existe um padrão para os números triangulares pares e ímpares.
Visto isso podemos generalizar: