Teoremas fundamentais da semelhança de triângulos

LIVRO VI
PROP. IV. TEOR.
Nos triângulos equiângulos os lados, que formam ângulos iguais, são proporcionais; e os lados opostos a ângulos iguais são homólogos.

PROP. V. TEOR.

Se dois triângulos tiverem os lados proporcionais, serão equiângulos; e serão iguais aqueles ângulos, aos quais ficarem opostos os lados homólogos.

PROP. VI. TEOR.

Se dois triângulos tiverem um ângulo igual a outro ângulo e proporcionais os lados, que formam estes ângulos iguais, serão equiângulos os triângulos, e os ângulos, que ficam opostos aos lados homólogos, serão iguais.

PROP. VII. TEOR.

Se em dois triângulos, sendo um ângulo de um igual a outro ângulo do outro, e proporcionais os lados, que formam outros dois ângulos, e cada um dos terceiros ângulos, que ficam for menor, ou não menor que um reto; ou também se um destes terceiros ângulos for reto, os triângulos serão equiângulos, e os ângulos formados pelos lados proporcionais serão iguais.

PROP. VIII. TEOR.
Se do ângulo reto de um triângulo retângulo fôr tirada uma linha reta perpendicularmente sobre a base, os triângulos assim feitos de uma e outra parte da perpendicular serão semelhantes ao triângulo total, e também semelhantes entre si.

NA ESCOLA

Na Geometria Plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando guardam uma proporção entre eles, ou melhor quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.

Mas, não é necessário que se conheça todos os lados e ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. É isso que nos dizem os critérios de semelhança de triângulos: ALA, LAL, LLL, AAL.

CASO ÂNGULO ÂNGULO (ALA)
"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes."

 CASO: LADO ÂNGULO LADO (LAL)
"Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes."

 CASO: LADO LADO LADO (LLL)
"Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes."

CASO: (LADO ÂNGULO ÂNGULO) LAAO
"Se dois triângulos possuem lado, ângulo adjacente a esse lado e ângulo oposto à esse lado, então eles são semelhantes."

Caso particular de LAL no triângulo retângulo


Sejam ABC e DCE triângulos retângulos com um vértice em comum. Se os catetos b e c' são perpendiculares e, além disso

então as hipotenusas a e a', estão em linha reta.