A Teoria das proporções (em Euclides)

DEFINIÇÕES
I
Uma grandeza se diz parte de outra grandeza, a menor da maior, quando a menor mede a maior.
II
A grandeza maior se diz múltipla, ou multíplice da menor, quando a menor mede a maior.
III
A razão entre duas grandezas, que são do mesmo gênero, é um respeito recíproco de uma para outra, enquanto uma é maior, ou menor do que a outra, ou igual a ela.
IV
As grandezas têm entre si razão, quando a grandeza menor, tomada certo número de vezes, pode vencer a grandeza maior.

NA ESCOLA
Uma razão A / B (quando A < B) pode ser formada se e somente se existe um inteiro positivo n tal que
nA > B.

V
As grandezas têm entre si a mesma razão, a primeira para, a segunda, e a terceira para a quarta, quando umas grandezas, quaisquer que sejam, equimultíplices da primeira e da terceira a respeito de outras, quaisquer que sejam, equimultíplices da segunda e da quarta, são ou juntamente maiores, ou juntamente iguais, ou juntamente menores.
VI
As grandezas, proporcionais. que têm entre si a mesma razão, se chamam proporcionais.
VII
Quando das quantidades equimultíplices a multíplice da primeira for maior que a multíplice da segunda, não o sendo a multíplice da terceira a respeito da multíplice da quarta, neste caso a razão da primeira grandeza
para a segunda se diz maior que a razão da terceira para a quarta. E pelo contrário se diz que a terceira grandeza tem para a quarta uma razão menor, que a razão da primeira grandeza para a segunda.
VIII
Proporção, ou proporcionalidade é uma semelhança de razões.

IX

A proporção consiste em três termos, pelo menos.

X

Quando três grandezas são proporcionais, se diz que a primeira tem para a terceira a razão duplicada da razão, que a mesma primeira tem para a segunda.

XI

Quando quatro grandezas são continuamente proporcionais, se diz que a primeira tem para a quarta a razão triplicada da razão, quê a primeira tem para a segunda. E assim, se as grandezas continuamente proporcionais forem cinco, seis, etc., a razão da primeira para a última chama-se quadruplicada;

quintuplicada, sextuplicada, etc., da razão da primeira para a segunda.