A ideia de tangente

"Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência sem a cortar."

Dizemos que uma ladeira é mais íngreme do que outra, ou a que tem um aclive mais acentuado, quando seu ângulo de subida é maior.
Usamos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida com o índice na mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida a ele associado.

Por meio da semelhança de triângulos, escrevemos uma razão, relacionada aos elementos do triângulo retângulo:

Mova a animação para entender melhor.