Notícias e assuntos relacionados ao Ensino escolar e Matemática.
sábado, 2 de maio de 2015
quarta-feira, 8 de abril de 2015
A importância da Matemática
O trabalho apresenta uma pesquisa de campo, tendo como objeto de estudo, a influência que o ensino da matemática possui na formação cidadã do educando, visto que, esta ciência não deve ser tratada como uma ferramenta utilizada para desenvolver isoladamente o raciocínio e as habilidades cognitivas. Assim o trabalho se propôs a identificar como o ensino da matemática contribui para a formação plena do educando como um ser crítico formador de opinião. A importância do estudo está na perspectiva de redirecionar o olhar para a matemática, abordando os benefícios, os valores, enfim, tratar sobre um ensino voltado para a construção de uma formação de qualidade. Tratou-se da educação como um meio crucial para o desenvolvimento de qualquer pessoa, que prepara para o exercício da cidadania, pois se acredita que é através da educação que o aluno faz-se capaz de desenvolver padrões de comportamento. O estudo teve cunho exploratório baseado em pesquisa de campo, de modo que foi realizada aplicação de questionários a educadores da disciplina de Matemática, atuantes no ensino fundamental e médio, e a educandos de uma turma do segundo ano do ensino médio, ambos de escolas públicas. As informações adquiridas através da coleta de dados foram analisadas e relacionadas com as teorias estudadas, encontrando-se assim, as respostas para o problema e para as questões de pesquisa. Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática como componente curricular.
http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058
O que é Educação Matemática?
A Educação Matemática é um campo do conhecimento que se dedica a estudar questões relativas ao ensino/aprendizagem de matemática. É um campo interdisciplinar que faz uso de teorias de outros campos teóricos, como a sociologia, a psicologia, a filosofia, etc., para a construção de seu conhecimento, além de construir suas próprias teorias. A Educação Matemática não se restringe a apenas estudar meios de fazer alunos alcançarem um conhecimento previamente estabelecido, mas também problematiza e reflete sobre o próprio conhecimento matemático.
http://www.mat.ufmg.br/pet/Jussara.php
terça-feira, 31 de março de 2015
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Filósofos e suas contribuições, à matemática.
Euclides: Geometria plana, dos sólidos, teoria dos números...
Pitágoras: Escala musical, teorema de Pitágoras...
Tales: Proporcionalidade, semelhança...
Al-Khwarizmi: frações, regras de completação...
Arquimedes: Esfera, cilindro...
Bhaskara: Equações do 2º grau, equações lineares...
Descartes: Geometria analítica, plano cartesiano...
Euclides: Geometria plana, dos sólidos, teoria dos números...
Pitágoras: Escala musical, teorema de Pitágoras...
Tales: Proporcionalidade, semelhança...
Al-Khwarizmi: frações, regras de completação...
Arquimedes: Esfera, cilindro...
Bhaskara: Equações do 2º grau, equações lineares...
Descartes: Geometria analítica, plano cartesiano...
Comprimento da circunferência
Sabemos que para calcularmos o comprimento de uma circunferência, basta utilizarmos a fórmula:
C = 2 . π . r
Mas a questão que se impõe é: porque 2 π, da fórmula para o cálculo da circunferência?
A resposta é simples:
Ocorre que uma volta completa da circunferência é igual a 360º, que convertido em radianos (unidade padrão de medida angular) = 2 π rad.
Mas porque multiplicado por r (raio)?
Por quê, sendo o raio é constituinte da formação da circunferência.
Observe a animação.
C = 2 . π . r
Mas a questão que se impõe é: porque 2 π, da fórmula para o cálculo da circunferência?
A resposta é simples:
Ocorre que uma volta completa da circunferência é igual a 360º, que convertido em radianos (unidade padrão de medida angular) = 2 π rad.
Mas porque multiplicado por r (raio)?
Por quê, sendo o raio é constituinte da formação da circunferência.
Observe a animação.
sábado, 21 de março de 2015
Linguagem algébrica
O uso dos símbolos das letras para representar os números, foi introduzido sistematicamente por François Viète - matemático francês, por este motivo é considerado o Pai da Álgebra.
Sentenças expressas com palavras, e sua representação na linguagem matemática
Para resolver problemas utilizando equações é importante saber representar expressões que contêm letras.
Veja alguns exemplos, quando a letra x indica um número:
o dobro desse número: x+x ou 2 . x ou 2x
o triplo desse número: 3x
o quádruplo desse número: 4x
a metade desse número: x/2
a terça parte desse número: x/3
os 3/5 desse número: 3/5 . x
70% desse número: 7/10 . x ou 0,7x
esse número acrescido de 8 : x + 8
7 a mais do que esse número: x + 7
3 a menos do que esse número: x – 3
3 menos esse número: 3 – x
a soma desse número com 8: x + 8
a diferença entre esse número e 5: x – 5
a diferença entre 7 e esse número: 7 – x
o produto desse número é 9: x . 9 ou 9x
o quociente desse número por 5: x/5 ou x:5
o dobro da soma desse número com 9: 2(x+9)
a soma do dobro desse número com 9: 2x + 9
a metade desse número mais o seu dobro: x/2 + 2x
a metade da soma desse número com 5: (x+5) / 2
a terça parte desse número: x : 3 ou x/3
esse número menos 4: x – 4
40% desse número: 2/5 . x ou 2x / 5 ou 0,4x
Os três quartos de x: 3/4x
Três mais o quíntuplo de x: 3 + 5x
Seis menos o cubo de x: 6 – x³
O quadrado de um número: x²
Um número adicionado ao seu dobro dá 28: x + 2x = 28
 |
| Imagem Google |
Sentenças expressas com palavras, e sua representação na linguagem matemática
Para resolver problemas utilizando equações é importante saber representar expressões que contêm letras.
Veja alguns exemplos, quando a letra x indica um número:
o dobro desse número: x+x ou 2 . x ou 2x
o triplo desse número: 3x
o quádruplo desse número: 4x
a metade desse número: x/2
a terça parte desse número: x/3
os 3/5 desse número: 3/5 . x
70% desse número: 7/10 . x ou 0,7x
esse número acrescido de 8 : x + 8
7 a mais do que esse número: x + 7
3 a menos do que esse número: x – 3
3 menos esse número: 3 – x
a soma desse número com 8: x + 8
a diferença entre esse número e 5: x – 5
a diferença entre 7 e esse número: 7 – x
o produto desse número é 9: x . 9 ou 9x
o quociente desse número por 5: x/5 ou x:5
o dobro da soma desse número com 9: 2(x+9)
a soma do dobro desse número com 9: 2x + 9
a metade desse número mais o seu dobro: x/2 + 2x
a metade da soma desse número com 5: (x+5) / 2
a terça parte desse número: x : 3 ou x/3
esse número menos 4: x – 4
40% desse número: 2/5 . x ou 2x / 5 ou 0,4x
Os três quartos de x: 3/4x
Três mais o quíntuplo de x: 3 + 5x
Seis menos o cubo de x: 6 – x³
O quadrado de um número: x²
Um número adicionado ao seu dobro dá 28: x + 2x = 28
Quadrados perfeitos
No quadriculado a seguir estão desenhadas cinco figuras geométricas planas.
a) Quantos quadradinhos há no interior de cada figura?
b) Quais dessas figuras são quadrados?
a) Quantos quadradinhos há no interior de cada figura?
b) Quais dessas figuras são quadrados?
sexta-feira, 20 de março de 2015
Quadrados perfeitos
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais são denominados quadrados perfeitos.
Por exemplo: O número 16, que representa o quadrado de 4, é chamado quadrado perfeito.
É possível mostrar geometricamente que 16 é um número quadrado perfeito.
Consideremos um quadrado com 1 cm de lado. Se usarmos 16 desses quadrados, formamos um novo quadrado.
Por exemplo: O número 16, que representa o quadrado de 4, é chamado quadrado perfeito.
É possível mostrar geometricamente que 16 é um número quadrado perfeito.
Consideremos um quadrado com 1 cm de lado. Se usarmos 16 desses quadrados, formamos um novo quadrado.
quarta-feira, 11 de março de 2015
Progressão aritmética
As somas descritas por Gauss iniciavam com um e, a cada etapa, era adicionado um número que correspondia a uma unidade acima do último número adicionado.
Observe:
S1 = 1
S2 = 1 + 2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
S6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
S9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= 45
Observe, que os resultados dessa somas: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 são os chamados números triangulares.
Mais atentamente, verificamos que se adicionarmos o primeiro elemento ao último obteremos o mesmo resultado, de somarmos o segundo elemento ao penúltimo.
Para melhor exemplificar:
Para S6:
1 + 6 = 7
2 + 5 = 7
3 + 4 = 7 note: 3 . 7 = 21
Para S7:
1 + 7 = 8
2 + 6 = 8
3 + 5 = 8
4
Para S8:
1 + 8 = 9
2 + 7 = 9
3 + 6 = 9
4 + 5 = 9 note: 4 . 9 = 36
Para S9:
1 + 9 = 10
2 + 8 = 10
3 + 7 = 10
4 + 6 = 10
5 + note: 4 . 10 = 40 +5 (da sequência) = 45
E assim, infinitamente. Perceba também que existe um padrão para os números triangulares pares e ímpares.
Visto isso podemos generalizar:
Números triangulares
A ideia é:
Começamos pela ideia da construção de um triângulo qualquer, criando uma bolinha:
A seguir, colocamos duas bolinhas abaixo da primeira, obtendo assim um triângulo;
Colocando três bolinhas abaixo dessas, obteremos outro triângulo:
Começamos pela ideia da construção de um triângulo qualquer, criando uma bolinha:
A seguir, colocamos duas bolinhas abaixo da primeira, obtendo assim um triângulo;
Colocando três bolinhas abaixo dessas, obteremos outro triângulo:
Observe que acrescendo mais uma linha com mais uma bolinha, obteremos outro triângulo; e assim fazendo sucessivamente, caracteriza-se uma classe de números chamada de números triangulares.
Para continuar o estudo, você pode ir para progressão aritmética:
domingo, 8 de março de 2015
A quadratura do círculo
Dado um círculo, construa um quadrado de mesma área.
Segundo a história da matemática, os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, assim, para resolver esse problema, propunham solução apenas com régua e compasso, que não era passível de solução.
Conta a tradição matemática, que um grego Ahmes, solucionou facilmente o problema, da seguinte maneira:
- pensou em determinar a área de uma quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia dentro de um círculo. Parecia razoável, tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Fazendo assim, comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de três vezes e menos que quatro, ou aproximadamente três vezes e um sétimo, que atualmente dizemos 3,14.
Dessa forma concluiu que para achar a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio, multiplicando essa área por 3,14.
Observe as figuras abaixo e reflita:
A solução é simples, usando-se os recursos da álgebra, sabemos que: π.r² = r², logo:
r² = π . r . r² => r = √π.r² => r = r √π
Assim, por exemplo, o lado(r) de um quadrado, para um círculo de 5 cm de raio é r ≃ 5 √π, ou l ≃ 15,7 cm.
Segundo a história da matemática, os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, assim, para resolver esse problema, propunham solução apenas com régua e compasso, que não era passível de solução.
Conta a tradição matemática, que um grego Ahmes, solucionou facilmente o problema, da seguinte maneira:
- pensou em determinar a área de uma quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia dentro de um círculo. Parecia razoável, tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Fazendo assim, comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de três vezes e menos que quatro, ou aproximadamente três vezes e um sétimo, que atualmente dizemos 3,14.
Dessa forma concluiu que para achar a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio, multiplicando essa área por 3,14.
Observe as figuras abaixo e reflita:
A solução é simples, usando-se os recursos da álgebra, sabemos que: π.r² = r², logo:
r² = π . r . r² => r = √π.r² => r = r √π
Assim, por exemplo, o lado(r) de um quadrado, para um círculo de 5 cm de raio é r ≃ 5 √π, ou l ≃ 15,7 cm.
Cálculo da área de um círculo
De uma maneira lúdica.
Observe que o círculo abaixo, é formado por infinitas circunferências.
Se as circunferências fossem convertidas em linhas retas, de acordo com o tamanho de cada reta e dispostas na posição abaixo, teríamos à formação de um triângulo como é mostrado na figura.
Assim, lembrando que o comprimento de uma circunferência é dado por C = 2. pi . r, e lembrando que área de um triângulo qualquer é dado por A= (b * h) / 2, e fazendo as devidas substituições na fórmula, obtemos à fórmula da área de um círculo.
Observe que o círculo abaixo, é formado por infinitas circunferências.
Se as circunferências fossem convertidas em linhas retas, de acordo com o tamanho de cada reta e dispostas na posição abaixo, teríamos à formação de um triângulo como é mostrado na figura.
Assim, lembrando que o comprimento de uma circunferência é dado por C = 2. pi . r, e lembrando que área de um triângulo qualquer é dado por A= (b * h) / 2, e fazendo as devidas substituições na fórmula, obtemos à fórmula da área de um círculo.
quinta-feira, 5 de março de 2015
Razão áurea
Um exemplo clássico para o entendimento do que vem à ser razão área.
Se a razão entre a medida do comprimento e a medida da largura de um retângulo é de aproximadamente 1,6, então ele é chamado de retângulo de ouro.
A razão a/b = a:b ≃ 1,6, chamada de razão de ouro, aparece em diversos elementos da natureza e objetos feitos pela humanidade, como obras de arte e de construção civil.
Se a razão entre a medida do comprimento e a medida da largura de um retângulo é de aproximadamente 1,6, então ele é chamado de retângulo de ouro.
A razão a/b = a:b ≃ 1,6, chamada de razão de ouro, aparece em diversos elementos da natureza e objetos feitos pela humanidade, como obras de arte e de construção civil.
Pensando num retângulo, cujas medidas são: 30,70 m de largura e 18,24 m de altura, pelo comentado acima, fazemos: 30,70 : 18,24 = 1,68311..., o número de ouro.
Para obtermos outros retângulos de ouro, com dimensões diferentes, devemos seguir às regras sobre proporção, como por exemplo, partindo-se das medidas do desenho acima, e aumentando em 2 vezes à razão 30,70 / 18,24= 1,68311..., teremos: 61,40 / 36,48 = 1,68311..., e ainda, se aumentarmos em 3 vezes as medidas iniciais, obteremos: 92,10 / 54,72 = 1,68311..., podemos fazer assim sucessivamente.
Você pode ir para uma animação do retângulo de ouro.
Para obtermos outros retângulos de ouro, com dimensões diferentes, devemos seguir às regras sobre proporção, como por exemplo, partindo-se das medidas do desenho acima, e aumentando em 2 vezes à razão 30,70 / 18,24= 1,68311..., teremos: 61,40 / 36,48 = 1,68311..., e ainda, se aumentarmos em 3 vezes as medidas iniciais, obteremos: 92,10 / 54,72 = 1,68311..., podemos fazer assim sucessivamente.
Você pode ir para uma animação do retângulo de ouro.
Bento de Jesus Caraça
Matemática
" Toda a gente sabe como as necessidades da vida corrente exigem que, a cada momento, se façam contagens - o pastor para saber se não perdeu alguma cabeça do seu rebanho, o operário para saber se recebeu todo o ordenado que lhe é devido, a dona de casa ao regular as suas despesas pelo dinheiro que dispõe, o homem de laboratório ao determinar o número exacto de segundos que deve durar uma experiência - a todos se impõe constantemente, nas mais variadas circunstâncias, a realização de contagens."
Começa assim o livro "Conceitos Fundamentais da Matemática" de Bento de Jesus Caraça. De uma maneira simples, característica que Jesus Caraça mantém ao longo do seu livro, quer levar o saber, nas suas palavras a "cultura", a uma maioria.
Os "Conceitos Fundamentais da Matemática" foram publicados pela primeira vez em primeira edição na "Biblioteca Cosmos" em dois volumes em 1941/42 com sucessivas reedições. As várias edições que a obra "Conceitos Fundamentais da Matemática" já teve (e certamente ainda terá outras) reforçam a ideia de que a orientação escolhida foi a mais adequada, foi a mais útil para matemáticos e não matemáticos. De facto, tem havido não matemáticos que lêem com grande interesse "Conceitos Fundamentais da Matemática", encontrando nele um livro acessível e agradável. A organização e redacção desta obra enfatiza a militância do Autor pela cultura e as suas elevadas qualidades pedagógicas. De facto, esta Obra dá a impressão, a quem a lê, de que o Autor está conversando com o leitor.
No prefácio à 1ª edição, com o qual Bento Caraça inicia o 1º volume dos "Conceitos Fundamentais da Matemática", afirma a sua atitude face à Ciência, da qual a matemática, embora com problemas próprios, faz parte integrante:
“ A ciência, encarada assim, aparece-nos, como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinada às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação; aparece-nos, enfim, como um grande capítulo da vida humana e social.”
E, mais adiante:
“Sem dúvida, a matemática possui problemas próprios… mas não há dúvida também de que os seus fundamentos mergulham, tanto como os de outro qualquer ramo da Ciência, na vida real; uns e outros entroncam na mesma madre.”
Na literatura matemática portuguesa, a obra de Bento Caraça, 'Conceitos Fundamentais da Matemática', ocupa um lugar de grande destaque; parece que nada há que se lhe compare no esforço não só para ensinar a pensar mas também a despertar a curiosidade pela matemática e vencer o medo que esta tanto desperta. É um livro actual apesar de já ter sido escrito há mais de cinquenta anos. E este facto levanta inúmeras interrogações. Como é possível um texto científico, neste caso de matemática, resistir à erosão do tempo, à evolução das ideias e das modas? Como pode um livro científico valer para além do interesse histórico, sobrevivendo à alteração dos conceitos?
Diz Paulo Almeida (responsável pela introdução de uma das edições do livro): "O livro não é pois apenas um livro de matemática elementar. É um livro em que a matemática é um pretexto para ir mais longe. De referir a célebre conferência de Bento de Jesus Caraça, "A cultura integral do indivíduo", proferida em 1933, Sempre quis o Autor reivindicar a cultura para a sociedade inteira. A leitura dos "
"Em filosofia (se não digo asneira) não há resumos nem vulgarizações possíveis. Ou se estuda com verdadeiros filósofos ou não se estuda. O que torna interessante os seus problemas é a sua dificuldade. Facilitar tais problemas é deixar de vê-los e deixar de vê-los é deixar por isso de ser filósofo. O vulgarizador, quase sempre, assemelha-se a um professor de equitação que para facilitar as coisas suprimisse o cavalo".
O conteúdo científico dos "Conceitos Fundamentais da Matemática" corresponde a uma parte dos temas que ainda hoje são leccionados - como o eram há cinquenta anos - nos dois últimos anos dos estudos secundários e no primeiro ano dos estudos universitários com vertente científica. Apesar da natural evolução da matemática o seu núcleo básico manteve-se no essencial ao longo deste meio-século. É verdade que, comparando a matemática com as outras ciências, a evolução da sua base fundamental revela maior estabilidade sendo por exemplo as demonstrações de há vinte cinco séculos tão modernas quanto as de hoje. No livro é dada ênfase a ideias que podemos encontrar nos manuais modernos, no entanto nestes últimos prevalece a componente técnica. Se é verdade que para consolidar a compreensão dos conceitos essa componente é indispensável, sendo mesmo necessário praticar para uma maior facilidade de memorização , mais verdade ainda é que conceber a matemática como um receituário é muito perigoso. Infelizmente, essa ideia de receituário é ainda inculcada em muitos dos alunos, muitas vezes vítimas de uma formação pobre dos seus professores. O professor deveria aproveitar o livro quer para o prazer, quer para o exercício da crítica, sabendo que nenhum livro substitui o professor, podendo, isso sim, complementar-se as suas funções. B. J. Caraça apresenta-nos uma Matemática cujo desenvolvimento se processa numa relação estreita com as pessoas e as condições de cada época, procurando, quase sempre, respostas para as questões que os homens colocam sobre aquilo que os rodeia, podendo esta visão ajudar os professores a tornar mais significativa a aprendizagem da Matemática.
É muito importante situar este livro no tempo. Ele está em consonância com toda a actividade de Bento de Jesus Caraça à frente da Biblioteca Cosmos, em prol da divulgação científica, do seu carácter libertador e antifascista, numa luta pela cultura e liberdade. Nas palavras de Paulo Almeida: "Quando este livro foi escrito vivia-se num clima de medo generalizado em que se por um lado o Estado aterrorizava os cidadãos, por outro vivia no terrível temor de eles se libertarem. Ao carácter libertador da ciência, convite a pensar e que vive da correcção constante dos seus erros, não poderia alhear-se o regime ditatorial, obviamente ameaçado pela cultura e pela liberdade. As sucessivas vagas de demissões compulsivas e a proibição de investigar ou de ensinar endereçada a alguns dos nossos melhores valores científicos - um dos demitidos sendo o próprio Bento de Jesus Caraça - se bem reflecte o medo geral, deixa imaginar que o isolamento intelectual a que eram votados os portugueses, quer a corrupção das regras derivada da imitação do poder vigente." Hoje Portugal tem a liberdade por que Bento Caraça denodadamente lutou e todos os matemáticos da geração presente sabem ou deveriam saber o quanto devem à acção pedagógica e cívica de Bento de Jesus Caraça, dívida essa que, por demasiado grande, não é facilmente saldável, tantas foram as suas iniciativas no sentido de responsabilizar e dignificar os matemáticos.
Fonte: www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/bento%20caraca/matematica.htm
" Toda a gente sabe como as necessidades da vida corrente exigem que, a cada momento, se façam contagens - o pastor para saber se não perdeu alguma cabeça do seu rebanho, o operário para saber se recebeu todo o ordenado que lhe é devido, a dona de casa ao regular as suas despesas pelo dinheiro que dispõe, o homem de laboratório ao determinar o número exacto de segundos que deve durar uma experiência - a todos se impõe constantemente, nas mais variadas circunstâncias, a realização de contagens."
Começa assim o livro "Conceitos Fundamentais da Matemática" de Bento de Jesus Caraça. De uma maneira simples, característica que Jesus Caraça mantém ao longo do seu livro, quer levar o saber, nas suas palavras a "cultura", a uma maioria.
Os "Conceitos Fundamentais da Matemática" foram publicados pela primeira vez em primeira edição na "Biblioteca Cosmos" em dois volumes em 1941/42 com sucessivas reedições. As várias edições que a obra "Conceitos Fundamentais da Matemática" já teve (e certamente ainda terá outras) reforçam a ideia de que a orientação escolhida foi a mais adequada, foi a mais útil para matemáticos e não matemáticos. De facto, tem havido não matemáticos que lêem com grande interesse "Conceitos Fundamentais da Matemática", encontrando nele um livro acessível e agradável. A organização e redacção desta obra enfatiza a militância do Autor pela cultura e as suas elevadas qualidades pedagógicas. De facto, esta Obra dá a impressão, a quem a lê, de que o Autor está conversando com o leitor.
No prefácio à 1ª edição, com o qual Bento Caraça inicia o 1º volume dos "Conceitos Fundamentais da Matemática", afirma a sua atitude face à Ciência, da qual a matemática, embora com problemas próprios, faz parte integrante:
“ A ciência, encarada assim, aparece-nos, como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinada às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação; aparece-nos, enfim, como um grande capítulo da vida humana e social.”
E, mais adiante:
“Sem dúvida, a matemática possui problemas próprios… mas não há dúvida também de que os seus fundamentos mergulham, tanto como os de outro qualquer ramo da Ciência, na vida real; uns e outros entroncam na mesma madre.”
Na literatura matemática portuguesa, a obra de Bento Caraça, 'Conceitos Fundamentais da Matemática', ocupa um lugar de grande destaque; parece que nada há que se lhe compare no esforço não só para ensinar a pensar mas também a despertar a curiosidade pela matemática e vencer o medo que esta tanto desperta. É um livro actual apesar de já ter sido escrito há mais de cinquenta anos. E este facto levanta inúmeras interrogações. Como é possível um texto científico, neste caso de matemática, resistir à erosão do tempo, à evolução das ideias e das modas? Como pode um livro científico valer para além do interesse histórico, sobrevivendo à alteração dos conceitos?
Diz Paulo Almeida (responsável pela introdução de uma das edições do livro): "O livro não é pois apenas um livro de matemática elementar. É um livro em que a matemática é um pretexto para ir mais longe. De referir a célebre conferência de Bento de Jesus Caraça, "A cultura integral do indivíduo", proferida em 1933, Sempre quis o Autor reivindicar a cultura para a sociedade inteira. A leitura dos "
"Em filosofia (se não digo asneira) não há resumos nem vulgarizações possíveis. Ou se estuda com verdadeiros filósofos ou não se estuda. O que torna interessante os seus problemas é a sua dificuldade. Facilitar tais problemas é deixar de vê-los e deixar de vê-los é deixar por isso de ser filósofo. O vulgarizador, quase sempre, assemelha-se a um professor de equitação que para facilitar as coisas suprimisse o cavalo".
O conteúdo científico dos "Conceitos Fundamentais da Matemática" corresponde a uma parte dos temas que ainda hoje são leccionados - como o eram há cinquenta anos - nos dois últimos anos dos estudos secundários e no primeiro ano dos estudos universitários com vertente científica. Apesar da natural evolução da matemática o seu núcleo básico manteve-se no essencial ao longo deste meio-século. É verdade que, comparando a matemática com as outras ciências, a evolução da sua base fundamental revela maior estabilidade sendo por exemplo as demonstrações de há vinte cinco séculos tão modernas quanto as de hoje. No livro é dada ênfase a ideias que podemos encontrar nos manuais modernos, no entanto nestes últimos prevalece a componente técnica. Se é verdade que para consolidar a compreensão dos conceitos essa componente é indispensável, sendo mesmo necessário praticar para uma maior facilidade de memorização , mais verdade ainda é que conceber a matemática como um receituário é muito perigoso. Infelizmente, essa ideia de receituário é ainda inculcada em muitos dos alunos, muitas vezes vítimas de uma formação pobre dos seus professores. O professor deveria aproveitar o livro quer para o prazer, quer para o exercício da crítica, sabendo que nenhum livro substitui o professor, podendo, isso sim, complementar-se as suas funções. B. J. Caraça apresenta-nos uma Matemática cujo desenvolvimento se processa numa relação estreita com as pessoas e as condições de cada época, procurando, quase sempre, respostas para as questões que os homens colocam sobre aquilo que os rodeia, podendo esta visão ajudar os professores a tornar mais significativa a aprendizagem da Matemática.
É muito importante situar este livro no tempo. Ele está em consonância com toda a actividade de Bento de Jesus Caraça à frente da Biblioteca Cosmos, em prol da divulgação científica, do seu carácter libertador e antifascista, numa luta pela cultura e liberdade. Nas palavras de Paulo Almeida: "Quando este livro foi escrito vivia-se num clima de medo generalizado em que se por um lado o Estado aterrorizava os cidadãos, por outro vivia no terrível temor de eles se libertarem. Ao carácter libertador da ciência, convite a pensar e que vive da correcção constante dos seus erros, não poderia alhear-se o regime ditatorial, obviamente ameaçado pela cultura e pela liberdade. As sucessivas vagas de demissões compulsivas e a proibição de investigar ou de ensinar endereçada a alguns dos nossos melhores valores científicos - um dos demitidos sendo o próprio Bento de Jesus Caraça - se bem reflecte o medo geral, deixa imaginar que o isolamento intelectual a que eram votados os portugueses, quer a corrupção das regras derivada da imitação do poder vigente." Hoje Portugal tem a liberdade por que Bento Caraça denodadamente lutou e todos os matemáticos da geração presente sabem ou deveriam saber o quanto devem à acção pedagógica e cívica de Bento de Jesus Caraça, dívida essa que, por demasiado grande, não é facilmente saldável, tantas foram as suas iniciativas no sentido de responsabilizar e dignificar os matemáticos.
Fonte: www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/bento%20caraca/matematica.htm
Operações inversas
Adição
A inversão consiste em - dada a soma a uma das parcelas, determinar a outra. Deveria haver duas operações inversas, conforme se pedisse o adicionando ou o adicionador, mas, em virtude da propriedade comutativa da adição, os papéis das duas parcelas podem trocar-se, e a duas inversas fundem-se numa só, que se chama subtração.
Multiplicação
A inversão consiste em - dado o produto a um dos fatores, determinar o outro. Deveria também haver duas inversas, mas que se fundem numa só - divisão - em virtude da propriedade comutativa do produto.
Potenciação
A inversão consiste em - dada a potência de um dos dados, base ou expoente, determinar o outro. Agora há de fato, duas inversas, porque não existe comutatividade na potenciação, por exemplo:
5² = 5.5 = 25
2⁴ = 2. 2.2.2 = 32
Aquela inversa pela qual, dada a potência e o expoente, se determina a base chama-se radiciação; aquela pela qual, dada a potência e a base, se determina o expoente chama-se logaritmação.
(Conceitos fundamentais da matemática - Bento de Jesus Caraça).
A inversão consiste em - dada a soma a uma das parcelas, determinar a outra. Deveria haver duas operações inversas, conforme se pedisse o adicionando ou o adicionador, mas, em virtude da propriedade comutativa da adição, os papéis das duas parcelas podem trocar-se, e a duas inversas fundem-se numa só, que se chama subtração.
Multiplicação
A inversão consiste em - dado o produto a um dos fatores, determinar o outro. Deveria também haver duas inversas, mas que se fundem numa só - divisão - em virtude da propriedade comutativa do produto.
Potenciação
A inversão consiste em - dada a potência de um dos dados, base ou expoente, determinar o outro. Agora há de fato, duas inversas, porque não existe comutatividade na potenciação, por exemplo:
5² = 5.5 = 25
2⁴ = 2. 2.2.2 = 32
Aquela inversa pela qual, dada a potência e o expoente, se determina a base chama-se radiciação; aquela pela qual, dada a potência e a base, se determina o expoente chama-se logaritmação.
(Conceitos fundamentais da matemática - Bento de Jesus Caraça).
quarta-feira, 4 de março de 2015
O número de ouro
A construção de um retângulo de ouro
1. Desenhe um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro);
2. Marque os pontos médios dos lados de “cima” e de “baixo” do quadrado;
3. Trace a reta que passa pelos pontos médios (observe que o quadrado ficou dividido em dois retângulos congruentes);
4. Num dos retângulos trace uma das suas diagonais.
5. Com o compasso desenhe a circunferência que tem centro no ponto médio de onde parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal;
6. Prolongue o lado do quadrado até encontrar a circunferência (este novo segmento é o comprimento do retângulo de ouro)
O número de ouro é representado pela letra Φ , em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.
1. Desenhe um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro);
2. Marque os pontos médios dos lados de “cima” e de “baixo” do quadrado;
3. Trace a reta que passa pelos pontos médios (observe que o quadrado ficou dividido em dois retângulos congruentes);
4. Num dos retângulos trace uma das suas diagonais.
5. Com o compasso desenhe a circunferência que tem centro no ponto médio de onde parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal;
6. Prolongue o lado do quadrado até encontrar a circunferência (este novo segmento é o comprimento do retângulo de ouro)
O número de ouro é representado pela letra Φ , em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.
 |
| Construído no GeoGebra |
Observe que você, movendo o retângulo, suas dimensões são alteradas, porém, à razão obtida é sempre igual à aproximadamente 1,61...
Medida
Medir é comparar quantidades de uma grandeza com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade.
Observe no objeto de aprendizagem abaixo, que o quadradinho MOVA, é a unidade de medida.
Você terá medido o quadrado "grande", quando verificar quantos "quadradinhos" pequenos (unidade de media), cabem no quadrado maior.
Então qual é a área da figura maior?
Observe no objeto de aprendizagem abaixo, que o quadradinho MOVA, é a unidade de medida.
Você terá medido o quadrado "grande", quando verificar quantos "quadradinhos" pequenos (unidade de media), cabem no quadrado maior.
Então qual é a área da figura maior?
Grandezas
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
Geometria
Geometria é uma palavra que resulta dos termos gregos "geo" (terra) e "métron" (medir), cujo significado em geral é designar propriedades relacionadas com a posição e forma de objetos no espaço.
A Geometria é a área da Matemática que se dedica a questões relacionadas com forma, tamanho, posição relativa entre figuras ou propriedades do espaço, dividindo-se em várias subáreas, dependendo dos métodos utilizados para estudar os seus problemas.
Este segmento da matemática aborda as leis das figuras e as relações das medidas das superfícies e sólidos geométricos. São utilizadas relações de medidas como as amplitudes de ângulos, volumes de sólidos, comprimentos de linhas e áreas das superfícies.
Fonte: www.significados.com.br
A Geometria é a área da Matemática que se dedica a questões relacionadas com forma, tamanho, posição relativa entre figuras ou propriedades do espaço, dividindo-se em várias subáreas, dependendo dos métodos utilizados para estudar os seus problemas.
Este segmento da matemática aborda as leis das figuras e as relações das medidas das superfícies e sólidos geométricos. São utilizadas relações de medidas como as amplitudes de ângulos, volumes de sólidos, comprimentos de linhas e áreas das superfícies.
Fonte: www.significados.com.br
Assinar:
Comentários (Atom)