Corpos redondos

São formas geométricas espaciais que apresentam pelo menos uma parte arredondada em sua superfície.
Cilindro
Cone
Esfera

Prisma quadrangular

A base de um prisma quadrangular é um polígono (quadrado); possui 4 faces laterais, mais uma que é a base do prisma.




Planificação

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Prisma triangular reto

Em um prisma triangular reto , as bases são regiões poligonais congruentes; a altura é a distância entre as bases; arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas e suas faces laterais são paralelogramos.




Planificação

Prisma de base hexagonal

Prisma hexagonal reto.
Em um prisma hexagonal (que pode ser reto ou oblíquo), a base é um polígono (hexágono), possuindo 7 faces: Uma que forma a base e outras 6 faces laterais.




Planificação

Pirâmide pentagonal

Numa pirâmide pentagonal, a base é um polígono (pentágono); e possui 6 faces (5 laterais e uma da base).




Planificação

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Pirâmide triangular

Uma pirâmide triangular é formada por uma base que é um polígono (triângulo) e por 3 faces laterais (triângulos).




Planificação

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Octaedro

Octaedro é uma figura sólida compreendida por oito triângulos iguais entre si, e equiláteros.
Mova o objeto de aprendizagem, com o lado direito do mouse.


Planificação do octaedro

Prisma reto

Pedro é um marceneiro e quer construir uma caixa de madeira com as formas e as dimensões indicadas na figura abaixo. De quantos centímetros quadrados de madeira Pedro vai precisar para construir essa caixa?

Imagem Google

Em prismas de bases poligonais e congruentes, a altura é a distância entre as bases, as arestas laterais têm o mesmo comprimento e são perpendiculares ao plano da base e as faces laterais são retangulares. A aresta lateral deste sólido forma com a base um ângulo reto.



Planificação

Prisma

Prisma é uma figura sólida compreendida por vários planos, entre os quais dois, que ficam opostos, são iguais, semelhantes e paralelos; os outros todos são paralelogramos.

Classificação quanto ao número de lados
Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.

Retos ou oblíquos

ÁREA DE UM PRISMA

VOLUME DE UM PRISMA

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Tetraedro

Tetraedro é uma figura sólida formada por quatro triângulos iguais entre si, e equiláteros. 

Mova o objeto de aprendizagem, com o lado direito do mouse.

Planificação

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ATIVIDADES

Construção da torre de um PC.

Construção de um parafuso.
Construção de uma circunferência
Construção de retas paralelas e coincidentes

Figuras não-planas
Observação
Frações
Tangram
Sólidos geométricos
Vistas de um sólido geométrico
Cálculo do volume de um paralelepípedo
Quadrados perfeitos
Todo quadrado é um retângulo?
Representação geométrica da raiz quadrada
Conceito de função
Produtos notáveis
Razão áurea
O retângulo de ouro
O comprimento da circunferência
Uma demonstração lúdica da fórmula do círculo
A quadratura do círculo
Atividades de planificação dos sólidos

Ponto de mínimo e ponto de máximo

APLICAÇÃO

Imagem Google

Algumas vezes, a trajetória da bola em um chute pode descrever uma parábola. Supondo que a altura h (em metros) em que a bola se encontra, t segundos após o chute, seja dada pela fórmula 

h = - t² + 6t, responda:

a) Como é o gráfico dessa função? Faça o esboço.

b) Qual é o eixo de simetria do gráfico?

- Reta vertical paralela ao eixo h, passando por t=3.

c) Em que instante a bola atinge a altura máxima?

- Após 3 s.

d) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

- 9 m

e) Qual é o par ordenado que representa o ponto de altura máxima dessa trajetória?

- (3,9)

Coordenadas do vértice

Área da coroa circular

Área da coroa = Acírculo menor - Acírculo maior.
Área da coroa = (π*R2) - (π*r2) : fatorando, obtemos
Área da coroa = π (R2 - r2)
Mova os pontos.

Área do arco

     Arco é uma parte qualquer da circunferência do círculo.

Mova o ponto c, para ampliar a animação.



Você pode ir para:
COMPRIMENTO DE UM ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Área de uma região limitada por um paralelogramo

APLICAÇÃO
A área de uma região limitada por um paralelogramo é de 58,80 m². Considerando-se que uma de suas bases mede 10,50 m, qual é a medida da altura correspondente a essa base?

A área de um paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base pela medida da altura correspondente.

A= b * h

O paralelogramo é equidecomponível a um retângulo, conforme demonstração abaixo:

Volume do cilindro: cálculo on line

Volume do cone

Área do trapézio

APLICAÇÃO
Uma placa de propaganda tem a forma de um trapézio. Sua área é de 11,16 m². As medidas das suas bases são 4 m e 3,20 m. Qual é a medida de sua altura?
Fórmula do trapézio

Arraste o triângulo e sobreponha os pontos E e G, com A e C, respectivamente e observe que teremos um trapézio. Feito isso temos à justificativa à fórmula do trapézio, como sendo à metade do produto da altura, pela soma de suas bases.

Polígonos equidecomponíveis

Teorema:
"Se dois polígonos têm a mesma área então sempre é possível decompor um deles em polígonos menores de modo a compor outro."

Área de uma região triangular

APLICAÇÃO
As medidas , em centímetros, da base e da altura de uma região triangular formam respectivamente o par ordenado (x,y),  solução do sistema

Determine a área dessa região triangular.





Área de um triângulo é dada por:

Mova os pontos ao centro, e reflita.

Área de uma região quadrada

APLICAÇÃO
Determine a área de uma horta quadrada, sabendo que seu lado mede 17 m:

A = l²
Reflita sobre o cálculo da área de uma quadrado, na animação abaixo:

Área do losango

Área de um losango, é igual a metade do produto entre diagonal maior e diagonal menor.



Mova os triângulos retângulos, para completar o losango:

Área de uma região retangular

APLICAÇÃO
A área de um sítio retangular é de 414.200 m². O comprimento desse sitio mede 760 m. Quanto mede a sua largura?

Imagem Google

A área de um retângulo pode ser expressa por:

Ar = b . h

Observe que na animação a seguir é possível verificar o cálculo da área do retângulo e do quadrado.

Mova os pontos C e A.

Área de figuras planas

Retângulo
Quadrado
Triângulo
Losango
Paralelogramo
Trapézio
Polígonos equidecomponíveis
Círculo
Coroa circular
Setor circular
Arco

Esfera

Esfera é uma figura sólida descrita pela revolução inteira de um semicírculo ao redor do seu diâmetro, que se considera como imóvel.

Eixo da esfera é aquele diâmetro ao redor do qual o semicírculo faz a sua revolução.

Centro da esfera é o mesmo centro do semicírculo.

Diâmetro da esfera se chama qualquer linha reta, que passa pelo centro da esfera, e se termina de uma e outra parte na superfície da mesma esfera.

APLICAÇÃO
Considere o radio do planeta Terra com medida 6370 km. Use as fórmulas acima e, com ajuda de uma calculadora e adotando π = 3,14, determine o valor aproximado:
a) da área da superfície do planeta Terra;
b) do volume do planeta Terra.

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro".



VOLUME DA ESFERA
O volume da esfera depende do tamanho do raio.

Área da superfície: A = 4.π.r²

Volume da esfera:

O cone

     Pirâmide cônica é uma figura sólida, que fica formada pela revolução inteira de um triângulo retângulo ao redor de um lado daqueles, que compreendem o ângulo reto. E este lado se deve considerar como imóvel no tempo de uma revolução inteira do triângulo.

Eixo da pirâmide cônica é aquele lado considerado como imóvel, ao redor do qual gira o triângulo.

Base da pirâmide cônica é o círculo descrito pelo outro lado, que pertence ao ângulo reto, e que faz uma revolução inteira juntamente com o triângulo.

APLICAÇÃO

Uma casquinha de sorvete possui o formato de um cone reto com altura de 10 cm e raio da base medindo 5 cm. Determine o volume da casquinha.

VOLUME DO CONE
O volume de um cone é igual a 1/3 do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma altura.



O cone e seus elementos
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R, delimitada por uma curva, a base.



VOLUME DO CONE
O volume de um cone é igual a 1/3 do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma altura.

Volume do prisma

APLICAÇÃO
Um prisma de base hexagonal, pode ser usado em muitas construções humanas, como por exemplo mostrado na imagem abaixo, quando a cúpula da igreja foi construída através dessa ideia geométrica.
                                       

Em um piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 m e cada aresta da base mede 4 m. Calcule, desses prisma:
No caso da figura nos interessa calcular a área total desse prisma, que forma à igreja, então:
a) a área de cada face lateral;
b) a área de uma base;
c) a área lateral;
d) a área total.




Para tanto fazemos:
a) Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 m²

b) Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 m²

c) AL = 6.4.8
   AL = 192 m²

d) At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 m²

 A área total do prisma será a soma do valor da área das duas bases mais a área de todas as suas faces laterais.
Como as bases são hexágonos regulares, a área de cada um deles pode ser calculada através da seguinte fórmula da superfície da base:

O total da área das faces laterais é igual ao perímetro da base multiplicada pela altura do prisma.
Sl = pb * h
A superfície total será dada por:
St = 2*Sbase + Sl 

(Mova a o objeto de aprendizagem com o botão direito do mouse).


PLANIFICAÇÃO DO PRISMA

VOLUME DO PRISMA DE BASE HEXAGONAL
A medida do volume de um prisma é dada multiplicando-se a área da base pela medida da altura desse prisma:  V = B * h

APLICAÇÃO
Calcule a medida do volume do prisma com 6 cm de altura, cuja base tem como contorno um hexágono regular com lados de 8 cm.
(Mova o objeto com o botão direito do mouse).

Volume de uma pirâmide

APLICAÇÃO

Imagem Google

O volume de uma pirâmide é dado em função da área de sua base e da altura h, para qualquer pirâmide.
Ressaltamos que, como uma pirâmide pode possuir inúmeras bases (triangular, quadrangular, hexagonal, entre outras),   o cálculo da base esta relacionado com o polígono que forma essa base.

O volume de uma pirâmide é igual a 1/3 do volume de um prisma de mesma área da base e mesma altura.




No caso de nossa animação virtual abaixo, observamos que a base dessa pirâmide é um triângulo, portanto, fazemos:
Volume = área da base x altura.
Sendo que no caso, a área da base é dada por:

Então na fórmula geral do cálculo do volume das pirâmides, substituímos (nesse caso) à fórmula da base correspondente, vezes à altura correspondente, dividindo então por 3.

Mova com o lado direito do mouse.